суббота, 27 марта 2010 г.

Решения квадратных уравнений

Добрый день. Хочу поделиться вот такой проблемой. По роду деятельности, столкнулась с такой ситуацией - большинство студентов-первокурсников в ТТУ не умеют решать квадратные уравнения. Точнее как, можно разделить на три стадии "неумения":
1. Когда корни получаются "красивые", забывают подставить их в уравнение и перепроверить, отсюда чаще всего ошибки.
2. Если корни получаются дробные, или еще хуже - иррациональные, то впадают в панику, и начинают спрашивать, не ошиблась ли я с условием.
3. А самое страшное, если дискриминант отрицательный, или же уравнение имеет вид, например, x^2+3=0. В любых ситуациях, когда надо извлекать корень из отрицательного числа, у подавляющего большинства в глазах истерика.

Вот на третьей проблеме и сконцентрируюсь.

Как выяснилось, стандартная реакция выпускника на квадратный корень из отрицательного числа - "корней нет" или "нет решений". Про мнимую единицу слышали только выпускники математических классов. Получается следующая проблема:
в школе учат, что как только корень из отрицательного числа, то сразу надо писать "нет решений". В университете, предполагается, что студент найдет корни, и дальше будет делать с ними все, что надо (то есть что он уже знает, а существовании других возможностей). Но совершенно непонятно, кто же конкретно должен сказать среднему выпускнику, что корни-то существуют? В школе в голову вбивается некая "защитная" реакция на подобную ситуацию, а в университете надо переучивать, а переучить, как водится, гораздо сложнее, чем научить.

Появляются два извечных вопроса человечества: "кто виноват?" и "что делать?".

С первым я даже не знаю. По идее гимназическое образование должно готовить людей для поступления в университет, но эта идея чаще всего не работает, и в гимназию идут все подряд. Таким образом, снижается планка гимназического образования. Но, я думаю, виноват тут не учитель, не какая-то конкретная школа, а система.

Но встает вопрос, а что делать то? Не подскажите?

10 комментариев:

masavi комментирует...

А ввести курс комплексных чисел в программу университета не пробовали? Если в ващей программе есть дествия с i, то можно было бы о ней поговорить до, а не после ее использования. А то в основной школе ничего спрашивать нельзя, в гимназии скоро будет 2 урока в неделю, ну и когда успеют все выучить так, чтобы к университету все все уже умели, а преподователь только бы лецию читал на тему ничего у меня не спрашивайте, вас в школе должны были научить.

neila комментирует...

Скажем так, лекции веду не я. Я как раз преподаватель по практике, то есть я должна научить решать задачи. Кроме того, у меня самой достаточно стесненные временные рамки - одна пара (1,5 часа) в две недели, а материала много. Квадратные уравнения это не основное, это один маленький шажок в цепочке вычислений. Но все-таки я давала пример с отрицательным дискриминантом. Но контрольная работа показала, что одного примера мало.

Курса комплексных чисел нет в принципе. Такая тема, кажется, была в линейной алгебре (если я помню верно). Но тут проблемы две: во-первых, комплексные числа и решения квадратных уравнений пересекаются только в одном: i=квадратный корень из (-1). Все остальные действия с комплексными числами достаточно далеки от квадратных уравнений. Во-вторых, сейчас линейная алгебра по плану идет на втором курсе, а квадратные уравнения решать надо на первом (ну и на всех последующих, если повезет). Да и что-то мне подсказывает, что для понимания комплексных чисел уже немного надо догадываться о мнимой единице.

Еще про «А ввести курс комплексных чисел в программу университета не пробовали?». Некоторым специальностям в упор не нужен весь курс, только один маленький факт оттуда. Кроме того, на бакалавра сейчас 3 года. И так сокращается все, что только можно и нельзя.

Так что это какой-то глобальный баг системы.

Zhanna Dirmeitis комментирует...

Это является проблемой не только у нас. Читаю в российских блогах, что по результатам Единого Госэкзамена Вузы получают таких студентов, для которых приходится на первом курсе вводить интенсив по предметам школьной программы.
По-поводу отрицательного дискриминанта. А чем не нравится ответ "нет действительных корней"?

neila комментирует...

Хорошо. Весь этот сыр-бор из-за квадратных уравнений нужен для решения реккурентных соотношений.

Самым типичным примером тут наверное будут числа Фибоначчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Где элемент равен сумме двух предыдущих, и даны первые два (F(0)=1 и F(1)=1). То есть формула реккурентного соотношения выглядит так F(n+2)=F(n+1)+F(n)
Посмотреть картинкой.

Так как рекурсия это неудобно, нам нужна формула которая будет выражать F(n) в явном виде. Для Фибоначчи это будет формула Бине (посмотреть картинку).

А для того, чтобы получить эту формулу нужно:
1. Построить характеристическое уравнение. В данном случае оно будет квадратное вида x^2-x-1=0.
2. Найти корни. В любом виде. Будь-то они мнимые или действительные. И если остановиться здесь с результатом "нет действительных корней", то все вообще теряет смысл.
3. Записать все это дело в общем виде с константами и полученными корнями.
4. Учитывая начальные условия найти константы.
5. Радоваться жизни.

Так вот, еще раз. Если остановиться на шаге нахождения корней, то все решение мимо.

masavi комментирует...

Кстати про баги системы не очень верно. Так как системы нет вообще. В основной школе и особенно гимназии есть набор тем понадерганных из алгебры и геометрии, между смобой не связанных или связанных 1-2 летним разрывом: а помните мы в 7. классе проходили? Самое печальное, что и в высших школах нет системы, предметы выбираются исходя из баллов, а не их сути, а математику по одному примеру понять не всем дано.

ljudmillar комментирует...

Проблема поднята важная. И она не сводится к одной-двум математическим темам, плохо представленным/вообще не представленным в курсе средней школы.Тут требуют переосмысления, в целом, задачи изучения курса математики. Кому, сколько и, главное, зачем?

neila комментирует...

"Самое печальное, что и в высших школах нет системы, предметы выбираются исходя из баллов, а не их сути"

До недавнего времени в ТТУ вообще не было выбора в плане математики. Был набор предметов, которые обязательно надо сдать. Среди них были:
1. Матанализ 1,2
2. Линейная алгебра
3. Тервер со статистикой
У информатиков еще дискретная математика.(По крайней мере так было у меня.)

Сейчас появился вот этот несчастный новый предмет "дискретная математика 2". И теперь есть выбор между вторым матаном и второй дискреткой. И в принципе я только поддерживаю эти изменения, ибо материал дискретной математики для информатика гораздо полезнее в применении, чем допустим кратные интегралы второго матана (а для механиков наоборот, например.) Кроме того, еще у некоторых везунчиков есть элементы общей алгебры.

А по поводу "а математику по одному примеру понять не всем дано". Я честно верила, что это не станет новостью, что я просто напомню о такой возможности и этого хватит. Не ожидала я. Кроме того, обучение в универе сильно отличается от школы, в том плане, что универ ориентирован на самостоятельное обучение. И задача преподавателя дать матеирал и сказать в каком направлении копать, а вот будет ли копать студент или не будет это его проблемы.

masavi комментирует...

Я учусь в Тарту, и там не обнаружила системы, может быть это проблема заочника, хотя сомневаюсь, что у стационаров проблема меньше. А про то что "сами, дети, сами", я в гимназии говорю, что никто в вышке им разжевывать и в рот класть не будет, но их это не заботит. Домашние работы даже на оценку не делают, если слишком сложно. А домашние для себя - это вызывает снисходительную усмешку.

Alexey Izvalov комментирует...

Читал об этом же у Пратчетта в "Науке плоского мира":
- Образование - это процесс смены одной лжи другой. Сначала говорится, что от большего числа нельзя меньшее отнять, потом - что можно, но из отрицательных - корень не извлечь и т.д.

Но всё-таки странно, как это у Вас в программе вуза комплексные числа не упоминаются.

Евгений Смирнов комментирует...

У нас был курс по комплексным числам. Хотя МатМех - один из лучших математических ВУЗов. Хотя 99% были из гимназий. Всё равно прочитали. ИМХО, и Вы можете сделать то же самое. За 2-3 пары можно на разумном уровне "галопом по Европам" дать азы комплексных чисел.